Les Bonnes EquaDif !!

Voilà je la promet depuis longtemps je poste ici comment résoudre TOUTES les équations différentielles vues jusqu'à présent.

En deux parties : De premier degré et de deuxième degré.

* Les équations de premier degré mettent en relation une fonction et sa dérivée. Du style



(loi des noeuds en charge d'un condensateur)

Avant tout chose je conseille de faire basculer tous les facteurs sur le même terme : Ici c'est déjà fait. Une deuxième chose : vérifiez que le terme constant à droite est soi nul soit de la même unité que les fonctions de l'équation ! pas question de mélanger Q, I et U...

1) La solution de ces équations sont TOUTES de la forme
A,a,B des constantes à déterminer, y étant la fonction à étudier (ici, par exemple, U(t))

2) On dérive cette expression : on obtient

3) On exprime y' en fonction de y :

4) On modifie cette expression pour que l'on retrouve l'expression de l'équation différentielle du départ :

ou bien

5) Immédiatement on trouve a et B par identification : ici RC = -1/a d'où
a = -1/RC et B = Umax.

6) Enfin pour trouver A on utilise la Condition initiale : c'est à dire on calcule y(0). Ici


soit


Il faut utiliser la nature du système pour trouver une valeur à y(0), c'est généralement 0 ou la valeur maximale de la variable, ici U(0) = 0 c'est logique car le condensateur se charge. On obtient donc



7) C'est fini ! il suffit de réécrire la fonction complétée, ici on obtient :


soit


Vous pouvez aller vérifier dans votre cours... Et aussi refaire toutes les EquaDif du cours sur RL et RC !

Vous avez suivi ? Bien. Maintenant on passe à la vitesse supérieure, les Equations Différentielles du second degré. On n'en a vu qu'une, et c'est un peu plus complexe à manier, alors je ne pense pas que ce soit aussi important que les premier degré qui elles sont à savoir bien faire

Une équation du second degré met en relation une fonction et sa dérivée seconde (et parfois sa dérivée première, mais ça on a pas vu)

Exemple : Circuit LC, loi des Noeuds.

Uc + Ul = 0
Q/C + LI' = 0
Q/LC + Q'' = 0 Notez que j'ai placé tous les facteurs sur le même terme, comme d'ab.

1) Toutes les équations de cette forme ont pour solution y = A cos(at+b) + B, A, a, b, B des constantes à déterminer.
2) on dérive deux fois cette expression :
y' = -a*Asin(at+b)
y'' = -a² * Acos(at+b)

3) On exprime y'' en fonction de y : y'' = -a² * (y-B)

4) On retrouve la forme de l'équation différentielle :
y'' + a²y = a²B

5) Par identification, on a immédiatement a² et B. Ici , B = 0 et a = 1/racine(LC).

6) Reste à trouver A et b. Pour celà, on utilise d'une part la condition initiale, mais sur la dérivée première :
y'(0) = -a*A*sin(at+b)
Or, ici Q'(0) = i(0) = 0 , i(0) est toujours nul.
D'où 0 = -a*A*sin(0t+b)
Cependant, a n'est pas nul, A non plus (la fonction entière serait nulle, aucun intéret). Reste donc sin(0t+b) = 0
sin(b) = 0
b = 0

7) Une deuxième condition initiale sur la première fonction :
y(0) = A*cos (a*0) d'où y(0) = A, ici Q(0) = Qmax d'où A = Qmax.

C'est fini ! Reconstituez votre belle fonction.

ici : Q(t) = Qmax * cos(t/racine(LC))

C'est à une constante près la formule du cours. Pour passer en tensions :

Q/C = Qmax/C * cos(t/racine(LC)) or Q/C = Uc, Qmax/C = E
d'où
Uc(t) = E * cos(t/racine(LC))
avec E la force électromotrice du condensateur (Umax si vous préférez).

Pour passer en intensités : I = Q' d'où
I(t) = (-Qmax/racine(LC)) * cos(t/racine(LC))

On pose Qmax/racine(LC) = Imax (ne me demandez pas pourquoi)

I(t) = -Imax * cos(t/racine(LC) ou bien
I(t) = Imax * sin(t/racine(LC) + pi/2)

si le signe moins vous gène.

Voilà ! Je sais là de premier abord ça semble pas du tout potable, mais relisez le lentement en comprenant bien ce que je fais à chaque étape. Si jamais j'ai été trop rapide par endroit signalez le moi !

La version LaTeX-ifiée des equadifs 2nd degré arrive bientôt... là je vais me coucher.

merci edwin

ah bah merci bien ED !